Métropole, septembre 2021

Soit  \(f\) la fonction définie sur l’intervalle  \(\left] -\dfrac{1}{3} \;; +\infty \right[\) par :  \(f(x)=\dfrac{4x}{1+3x}\) .

On considère la suite  \((u_n)\) définie par  \(u_0 = \dfrac{1}{2}\) et, pour tout entier naturel \(n\) , \(u_{n+1} = f (u_n)\) .

1. Calculer \(u_1\) .

2. On admet que la fonction  \(f\) est croissante sur l’intervalle \(\left] \dfrac{1}{3} \;; +\infty \right[\) .
    a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\) , on a : \(\dfrac{1}{2}\leqslant u_n\leqslant {u_{n+1}}\leqslant 2\) .
    b. En déduire que la suite \((u_n)\)  est convergente.
    c. On appelle  \(\ell\) la limite de la suite \((u_n)\) . Déterminer la valeur de \(\ell\) .

3. a. Recopier et compléter la fonction Python ci-dessous qui, pour tout réel positif \(E\) , détermine la plus petite valeur  \(P\) tel que : \(1 - u_P < E\) .

\(\begin{array}{| l| } \hline \text{def seuil(E) : }\\\quad \text{u = 0,5} \\ \quad \text{n = 0 } \\ \quad\text{while .....................} \\\qquad \text{u = ......................} \\\qquad \text{n = n + 1}\\\quad \text{return u} \\ \hline \end{array}\)

    b. Donner la valeur renvoyée par ce programme dans le cas où \(E=10^{-4}\) .

4. On considère la suite  \((v_n)\) définie, pour tout entier naturel \(n\) , par  \(v_n= \dfrac{u_n}{1-u_n}\) .
    a. Montrer que la suite \((v_n)\)  est géométrique de raison \(4\) . En déduire, pour tout entier naturel \(n\) , l’expression de  \(v_n\) en fonction de \(n\) .
    b. Démontrer que, pour tout entier naturel \(n\) , on a : \(u_n= \dfrac{v_n}{v_n+1}\) .
    c. Montrer alors que, pour tout entier naturel  \(n\) , on a :  \(u_n=\dfrac{1}{1+0,25^n}\) . Retrouver par le calcul la limite de la suite \((u_n)\) .